సంఖ్యలు (Numbers)

అంకెలు: 0 నుంచి 9వరకు ఉన్న పరిమాణాలను అంకెలు అంటారు.

ఉదా: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

సంఖ్యలు: 10 నుంచి అనంత పరిమాణం ఉన్న వాటిని సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: 10 నుంచి ∞ (అనంతం).

సంఖ్యలను అంకెల ఆధారంగా రాస్తారు.

సంఖ్యల రకాలు :1. సహజ సంఖ్య (N): గణించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అంటారు.

సహజ సంఖ్య సమితిని 'N' తో సూచిస్తారు.

N = { 1, 2, 3, 4, 5,..... అనంతం }

సహజ సంఖ్యల్లో మిక్కిలి చిన్నది - 1. సహజ సంఖ్యల్లో మిక్కిలి పెద్ద సంఖ్యను నిర్వచించడం సాధ్యం కాదు.🅾

2. పూర్ణాంకాల సమితి (W): సహజ సంఖ్య సమితికి 0 చేరిస్తే అది పూర్ణాంక సమితి అవుతుంది.

పూర్ణాంక సమితిని 'W' తో సూచిస్తారు.

W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,.... }

పూర్ణాంక సమితిలో అతి చిన్న విలువ 0 (సున్నా). పూర్ణాంక సమితిలో అతి పెద్ద విలువ నిర్వచించలేం.

3. పూర్ణ సంఖ్యలు (Z): 1 హారంగా ఉన్న అకరణీయ సంఖ్యలన్నీ పూర్ణసంఖ్యలు.

పూర్ణసంఖ్యల సమితిని 'Z' తో సూచిస్తారు.

Z = { ..... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ..........}

పూర్ణ సంఖ్యలు 3 భాగాలు. అవి:

1. రుణ పూర్ణసంఖ్యలు

2. సున్నా (0)

3. ధన పూర్ణసంఖ్యలు

1. రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు = { .......... - 5, - 4, - 3, - 2, - 1 }

2. సున్నా - { 0 }

3. ధన పూర్ణసంఖ్యలు = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... అనంతం }

Note: * సున్నా రుణ పూర్ణ సంఖ్య కాదు, ధన పూర్ణ సంఖ్య కాదు.

* సున్నా, ధన పూర్ణ సంఖ్యలు కలిపి పూర్ణాంకాలు అవుతాయి.

* పూర్ణసంఖ్యల్లో మధ్యమ సంఖ్య 0 (సున్నా).

* పూర్ణ సంఖ్యల్లో అతి చిన్న లేదా అతి పెద్ద సంఖ్యను నిర్వచింపలేం.

* సున్నాకు ముందు పూర్ణాంకం లేదు.

4. అకరణీయ సంఖ్యలు (Q): హారంలో 0 ఉండని, లవంలోనూ, హారంలోనూ పూర్ణ సంఖ్యల ఉన్న అన్ని భిన్నాలను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.

అకరణీయ సంఖ్యల సమితిని Q తో సూచిస్తారు.

ఉదా: Q = {-3/2,0,5,4/9,11/5,120/7}

Note: 

రెండు వరుస అకరణీయ సంఖ్యలు ఉండవు.

రెండు వరుస పూర్ణసంఖ్యల మధ్య అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉంటాయి.

దశాంశ పద్ధతిలో అకరణీయ సంఖ్యలు 2 రకాలు:

(i) అంతమయ్యే దశాంశం

ఉదా: (i)6/2 = 3

(ii) = 5/2 = 2.5

(ii) అంతంకాని ఆవర్తిత దశాంశం

ఉదా: (i) 10/3 = 3.333.....

(ii) 2/3 = 0.6666....

దశాంశ అవధి: ఒక దశాంశంలో మళ్లీ, మళ్లీ అంతం లేకుండా వచ్చే అంకెల సంఖ్యను ఆ దశాంశ అవధి అంటారు.

ఉదా: (i)12.345 లో అవధి = 2

(ii) 1.23 లో అవధి = 1

దశాంశ వ్యవధి: ఒక దశాంశంలో మళ్లీ, మళ్లీ అంతం లేకుండా వచ్చే అంకెల సమూహాన్ని వ్యవధి అంటారు.

ఉదా: 

(i)12.345 లో వ్యవధి = 45

(ii) 1.23 లో వ్యవధి = 3

5. కరణీయ సంఖ్యలు (Q'): p/q రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.

కరణీయ సంఖ్యలను Q' తో సూచిస్తారు.

ఉదా: 

Q′= {√2,√3,√5,√6.....}  

6. వాస్తవ సంఖ్యలు (R): సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణసంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.

 వాస్తవ సంఖ్యలను 'R' తో సూచిస్తారు.

ఉదా: 

R = { N U W U Z U Q U Q' }

7. కల్పిత సంఖ్యలు (i): రుణ సంఖ్యలకు వర్గమూలాలను కనుక్కునేటప్పుడు ఏర్పడేవి కల్పిత సంఖ్యలు.

వీటిని ఊహా సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: √-4 = √(4)*(-1) = 2√-1

8. సరిసంఖ్యలు: '2' తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే (శేషం సున్నా వచ్చే) సంఖ్యలను సరిసంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: 2, 4, 6, 8, ..... 42348,..... 1159846,......

పై విలువలను '2' తో భాగించినప్పుడు శేషం సున్నా వస్తుంది. కాబట్టి పై విలువలు సరి సంఖ్యలు.

 సరిసంఖ్యల సాధారణ రూపం = 2n.

 మొదటి 'n' సరిసంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)

9. సంఖ్యలు: ఏదైనా అంకె లేదా సంఖ్యను '2' తో భాగించినప్పుడు శేషం 1 వస్తే అలాంటి అంకె లేదా సంఖ్యను బేసి సంఖ్య అంటారు.

ఉదా: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...... 14351,..... 9084733,.......

బేసి సంఖ్య సాధారణ రూపం: (2n + 1)

 మొదటి 'n' బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n²

10. సంయుక్త సంఖ్యలు: రెండు కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలున్న సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: సంయుక్త సంఖ్యలు = 4, 6, 8, 9, 10, 12.......

100 వరకు ఉన్న సంయుక్త సంఖ్యల సంఖ్య = 74.

11. ప్రధాన సంఖ్యలు: 1 తోనూ, అదే సంఖ్యతోనూ నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ......

100 వరకు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య = 25

(i) కవల ప్రధాన సంఖ్యలు: 2 భేదంగా ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల జతలను కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: (3, 5), (5, 7) (11, 13) .........

 100 లోపు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల్లో కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు - 8.

పక్క పక్క సంఖ్యలే ప్రధాన సంఖ్యలుగా ఉన్న వాటిని వరుస ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.

 2, 3 మాత్రమే వరుస ప్రధాన సంఖ్యలు

(ii) సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు: ఏవైనా రెండు సంఖ్యలకు 1 మినహా వేరే కారణాంకాలు లేకపోతే అలాంటి వాటిని సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: (3, 7) (4, 11) (8, 9) ........

12. పరిపూర్ణ సంఖ్య: ఏదైనా ఒక సంఖ్యకు సంబంధించిన కారణాంకాల మొత్తం, ఆ సంఖ్యకు రెట్టింపైతే ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు.

ఉదా: మొదటి పరిపూర్ణ సంఖ్య 6.

రెండో పరిపూర్ణ సంఖ్య 28.

పోటీ పరీక్షలకు గుర్తించుకోవాల్సిన ముఖ్యమైన విలువలు:

సంకలనం అంటే కూడిక.

వ్యవకలనం అంటే తీసివేత.

K సంకలన విలోమం = - K

K గుణకార విలోమం = 1/K

సరి సంఖ్య + సరి సంఖ్య = సరి సంఖ్య 

ఉదా: 1432 + 524 = 1956

బేసి సంఖ్య + బేసి సంఖ్య = సరి సంఖ్య 

ఉదా: 13521 + 4567 = 18088

సరి సంఖ్య × సరి సంఖ్య = సరి సంఖ్య

ఉదా: 16 × 8 = 128

సరి సంఖ్య × బేసి సంఖ్య = సరి సంఖ్య

ఉదా: 16 × 15 = 240

బేసి సంఖ్య × బేసి సంఖ్య = బేసి సంఖ్య

ఉదా: 15 × 7 = 105

సరి సంఖ్య × సరి సంఖ్య × సరి సంఖ్య = సరి సంఖ్య

ఉదా: 114 × 152 × 254 = 4401312

బేసి సంఖ్య × బేసి సంఖ్య × బేసి సంఖ్య = బేసి సంఖ్య

ఉదా: 251 × 563 × 143 = 20207759

వరుస సరి సంఖ్యల వర్గాల మధ్య భేదం సరి సంఖ్య అవుతుంది.

వరుస బేసిసంఖ్యల వర్గాల మధ్య భేదం సరి సంఖ్య అవుతుంది.

ముఖ్యమైన సూత్రాలు🛑:

i) మొదటి 'n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = n(n+1) / 2

ii) మొదటి 'n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = n (n+1)(2n+1)/6

iii) మొదటి 'n సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం = n²(n+1)²/4